Question

如圖，△ABC內接于圓O,AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行
四邊形，DC平面ABC ,，已知AE與平面ABC所成的角為,
且．
（1）證明：平面ACD平面；
（2）記，表示三棱錐A－CBE的體積，求的表達式；
（3）當取得最大值時，求二面角D－AB－C的大小．

Answer 1

（）
二面角D－AB－C為60°

解：（１）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形 ∴，---------1分
∵DC平面ABC ,平面ABC  ∴． ----------2分
∵AB是圓O的直徑 ∴且     
∴平面ADC． 
∵DE//BC  ∴平面ADC ---------------------------------------3分
又∵平面ADE  ∴平面ACD平面----------------4分
（2）∵DC平面ABC   ∴平面ABC
∴為AE與平面ABC所成的角，即＝-------------------5分
在Rｔ△ABE中，由,得------------6分
在Rｔ△ABC中∵（）
∴------------------------------------7分
∴（）-------8分
（3）由（2）知
要取得最大值，當且僅當取得最大值，
∵---------------------------------------------------------9分
當且僅當，即時，“＝”成立，
∴當取得最大值時,這時△ACB為等腰直角三角形----------------10分
解法1：連結CO，DO
∵AC=BC,DC=DC
∴≌  ∴AD="DB  "
又∵O為AB的中點 ∴
∴為二面角D－AB－C的平面角------------12分
在中   ∵,
∴, ∴=
即當取得最大值時，二面角D－AB－C為60°．--------------------------------14分
解法2：以點O為坐標原定，OB為x軸建立空間直角坐標系如圖示：
則B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,1,)，
∴,
平面ABC的法向量，---------------------11分
設平面ABD的法向量為
由得
令，則 ∴-------------12分
設二面角D－AB－C的大小為，則
∴,即二面角D－AB－C的大小為60°．------------------------------------14分