Question

（本題滿(mǎn)分15分）已知過(guò)點(diǎn)（，0）（）的動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．（I）當(dāng)時(shí)，求證：；
（II）對(duì)于給定的正數(shù)，是否存在直線(xiàn)：，使得被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

(Ⅰ)見(jiàn)解析  (Ⅱ) 所以當(dāng)時(shí)，存在直線(xiàn)，截得的弦長(zhǎng)為，
當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)

方法一：（I）設(shè)，

得
    …………………………………………………………3 分

==0
∴              ………………………………………………6 分
方法二：過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為、，
有
由
∴
∴ ……………………………………………………6 分
（II）設(shè)點(diǎn)是軌跡C上的任意一點(diǎn)，則以為直徑的圓的圓心為，
假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)存在，直線(xiàn)被圓截得的弦為，則
 

                  ………………10分
弦長(zhǎng)為定值，則，即，
此時(shí)，                         ………………12分
所以當(dāng)時(shí)，存在直線(xiàn)，截得的弦長(zhǎng)為，
當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)…………………………………………15 分