Question

某公司有10萬(wàn)元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場(chǎng)分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為

1

2

，

1

4

，

1

4

；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為α和β（α+β=1）．
（1）如果把10萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，用ξ表示投資收益（收益=回收資金-投資資金），求ξ的概率分布及Eξ；
（2）若把10萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求α的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，ξ的可能取值為1，0，-1，分別求出P（ξ=1），P（ξ=0），P（ξ=-1），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）設(shè)η表示10萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目的收益，則η的可能取值為2，-2，分別求出P（η=2），P（η=-2），求出Eη，由把10萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，能求出α的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，ξ的可能取值為1，0，-1，
P（ξ=1）=

1

2

，
P（ξ=0）=

1

4

，
P（ξ=-1）=

1

4

，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	0	-1
p	1 2	1 4	1 4

Eξ=

1

2

-

1

4

=

1

4

．…（6分）
（2）設(shè)η表示10萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目的收益，
則η的可能取值為2，-2，
P（η=2）=α，
P（η=-2）=β，
η的分布列為

η	2	-2
p	α	β

∴Eη=2α-2β=4α-2，
∵把10萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，
∴4α-2≥

1

4

，
解得α≥

9

16

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．