Question

已知

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，其中x∈[

π

6

，

π

2

]，設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

+|

b

|2+

3

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；        
（2）若f（x）=5，求x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積的坐標表示二倍角公式及輔助角公式對函數(shù)化簡可得f（x）=5sin(2x+

π

6

)+5，由x∈[

π

6

，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]．結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）由題意可得sin(2x+

π

6

)+5=5，即sin(2x+

π

6

)=0．結(jié)合2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]可求

解答：解：（1）f（x）=5

3

cosxsinx+2cos2x+sin2x+4cos2x+

3

2

=

5 3

2

sin2x+5•

cos2x+1

2

+

5

2

=5sin(2x+

π

6

)+5．…（3分）
∵x∈[

π

6

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]．
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，故f（x）的值域為[

5

2

，10]．…（5分）
（2）若f（x）=5，則sin(2x+

π

6

)+5=5，即sin(2x+

π

6

)=0．
∵2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，∴2x+

π

6

=π⇒x=

5π

12

．…（10分）

點評：本題以向量的數(shù)量積額坐標表示為切入點，主要考查了三角函數(shù)的二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．