Question

7．如果函數(shù)f（x）滿足：在定義域D內(nèi)存在x₀，使得對(duì)于給定常數(shù)t，有f（x₀+t）=f（x₀）•f（t）成立，則稱(chēng)f（x）為其定義域上的t級(jí)分配函數(shù)．研究下列問(wèn)題：
（1）判斷函數(shù)f（x）=2x和g（x）=$\frac{2}{x}$是否為1級(jí)分配函數(shù)？說(shuō)明理由；
（2）問(wèn)函數(shù)φ（x）=）$\sqrt{\frac{a}{{x}^{2}+1}}$（a＞0）能否成為2級(jí)分配函數(shù)，若能，則求出參數(shù)a的取值范圍；若不能請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）討論是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意常數(shù)t（t∈R）函數(shù)φ（x）=$\sqrt{\frac{a}{{x}^{2}+1}}$（a＞0）都是其定義域上的t級(jí)分配函數(shù)，若存在，求出參數(shù)a的取值范圍，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）若$f（x）=\frac{2}{x}$是1級(jí)分裂函數(shù)，則存在非0實(shí)數(shù)x₀，使得$\frac{1}{{{x_0}+1}}=\frac{1}{x_0}•2$，得x₀
若f（x）=2x是1級(jí)分裂函數(shù)，即存在實(shí)數(shù)x₀，使得 2（x₀+1）=2x₀•2，解得x₀，
（2）由題意，a＞0，D=R．存在實(shí)數(shù)x₀，使得$\sqrt{\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}}=\sqrt{\frac{a}{x_0^2+1}}•\sqrt{\frac{a}{5}}$，
所以$\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}=\frac{a^2}{5（x_0^2+1）}$化簡(jiǎn)得$（a-5）x_0^2+4a{x_0}+5a-5=0$（5分）
當(dāng)a=5時(shí)，x₀=-1，符合題意
當(dāng)a＞0且a≠5時(shí)，由△≥0得16a²-4（a-5）（5a-5）≥0，化簡(jiǎn)得a²-30a+25≤0，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍
（3）當(dāng)t=0時(shí)，滿足條件的a=1，若存在實(shí)數(shù)a滿足題意，a只能取1．再驗(yàn)證a=1是否滿足條件．

解答 解：（1）若$f（x）=\frac{2}{x}$是1級(jí)分裂函數(shù)，則存在非0實(shí)數(shù)x₀，使得$\frac{1}{{{x_0}+1}}=\frac{1}{x_0}•2$，即x₀=-2，
所以函數(shù)$f（x）=\frac{2}{x}$是1級(jí)分裂函數(shù)．（2分）
若f（x）=2x是1級(jí)分裂函數(shù)，即存在實(shí)數(shù)x₀，使得 2（x₀+1）=2x₀•2，解得x₀=1，
故f（x）=2x是1級(jí)分裂函數(shù)                                      （3分）
（2）由題意，a＞0，D=R．存在實(shí)數(shù)x₀，使得$\sqrt{\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}}=\sqrt{\frac{a}{x_0^2+1}}•\sqrt{\frac{a}{5}}$，（4分）
所以$\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}=\frac{a^2}{5（x_0^2+1）}$化簡(jiǎn)得$（a-5）x_0^2+4a{x_0}+5a-5=0$（5分）
當(dāng)a=5時(shí)，x₀=-1，符合題意；
當(dāng)a＞0且a≠5時(shí)，由△≥0得16a²-4（a-5）（5a-5）≥0，化簡(jiǎn)得a²-30a+25≤0，解得$a∈[15-10\sqrt{2}，5）∪（5，15+10\sqrt{2}]$．        （7分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[15-10\sqrt{2}，15+10\sqrt{2}]$．
（3）存在，a=1
當(dāng)t=0時(shí)，滿足條件的a=1，若存在實(shí)數(shù)a滿足題意，a只能取1．
下面驗(yàn)證a=1是否滿足條件．
∵f（x₀+t）=f（x₀）•f（t），∴（x+t）²+1=（x²+1）（t²+1）⇒t=0或t=$\frac{2}{x}$，
故t可取任意實(shí)數(shù)，故a=1滿足條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)及新定義問(wèn)題，考查了運(yùn)算能力，屬于難題．