Question

【題目】已知橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線過點且與橢圓相交于兩點.過點作直線的垂線，垂足為.證明直線過軸上的定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）由離心率列方程可求得橢圓方程；

（2）當直線AB的斜率不存在時，直線BD過點（2，0）．當直線AB的斜率存在時，設直線AB為y=k（x-1），聯(lián)立方程組，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．利用韋達定理、直線方程，結合已知條件求出直線BD過x軸上的定點．

（1）解：由題意可得,解得，

所以橢圓C的方程為 ．

（2）直線BD恒過x軸上的定點N（2，0）．證明如下

（a）當直線l斜率不存在時，直線l的方程為x=1，

不妨設A（1，），B（1，），D（3，）．

此時，直線BD的方程為：y=（x-2），所以直線BD過點（2，0）．

（b）當直線l的斜率存在時，設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB為y=k（x-1），D（3，y1）．

由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．

所以x1+x2=，x1x2=．……（*）

直線BD：y-y1=（x-3），只需證明直線BD過點（2，0）即可.

令y=0，得x-3=，所以x===

即證，即證.

將（*）代入可得.

所以直線BD過點（2，0）

綜上所述，直線BD恒過x軸上的定點（2，0）．