Question

如圖，平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿對(duì)角線AC將△ABC折起，使平面ABC與平面ACD互相垂直．
（1）求證：AB⊥平面BCD；
（2）求點(diǎn)C到平面ABD的距離；
（3）在BD上是否存在一點(diǎn)P，使CP⊥平面ABD，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC考慮取AC的中點(diǎn)M，則有BM⊥AC，由已知平面ABC⊥平面ACD可得BM⊥平面ACD進(jìn)而有BM⊥CD，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理可證
（2）利用等體積，根據(jù)V_B-ACD=V_C-ABD，代入已知數(shù)據(jù)可求點(diǎn)C到平面ABD的距離
（3）假設(shè)存在滿足條件的P，使得CP⊥平面ABD則CP⊥BD，由BC=CD=a 可得P為DB的中點(diǎn)，從而通過(guò)計(jì)算可得AP⊥CP，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得存在符合條件的點(diǎn)P

解答：解：（1）取AC的中點(diǎn)M，因?yàn)锳B=AC，所以BM⊥AC
∵平面ABC⊥平面ACD，∴BM⊥平面ACD，∴BM⊥CD
∵AB=BC=CD=a，∠B=

π

2

∴∠BAC=∠BCA=

π

4

∵∠BCD=

3π

4

，∴∠ACD=

π

2

，即AC⊥CD
∵AC∩BM=M∴CD⊥平面ABC∴CD⊥AB
∵AB⊥BC且BC∩CD=C
AB⊥平面BCD
（2）由（1）知BA為B到平面ACD的距離，且BM=

2

2

a
設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離h
由已知可得AC=

2

a，∠ACD=

π

2

，由（1）可得∠AMD=

π

2

，從而可得AD=

AM2+ DM2

=

2

a
根據(jù)等體積可得

1

3

×

1

2

×BM×SACD=

1

3

×

1

2

×SABD×h
∴

2 a

2

×

2

a×a=a×

2

a×h
h=

2

2

a
點(diǎn)C到平面ABD的距離

2

2

a
（3）假設(shè)存在滿足條件的P，使得CP⊥平面ABD
則CP⊥BD①，∵BC=CD=a∴P為DB的中點(diǎn)
而此時(shí)CP=

2 a

2

，AP=

6 a

2

，AC=

2

a，則AC²=AP²+CP²
∴AP⊥CP②由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得此時(shí)的P滿足條件，
故存在P為BD的中點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題體主要考查了“線線垂直”與“線面垂直”的相互轉(zhuǎn)化，其理論依據(jù)是直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，而利用換頂點(diǎn)求三棱錐的體積進(jìn)而求高是在求解點(diǎn)到面的距離時(shí)常用的方法．