Question

【題目】如圖（1）所示，五邊形中，，，分別是線段的中點(diǎn)，且，現(xiàn)沿翻折，使得，得到的圖形如圖（2）所示.

圖（1） 圖（2）

（1）證明：平面；

（2）若平面與平面所成角的平面角的余弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

試題（1）根據(jù)二面角定義得是二面角的平面角，即得平面平面.由等腰三角形性質(zhì)得，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得.根據(jù)勾股定理得，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得平面一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系列方程，解得的值.

試題解析：（1）如圖，連接.因?yàn)?/span>，且是二面角的平面角，故平面平面.

因?yàn)?/span>，為線段的中點(diǎn)，故，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面，故平面，

因?yàn)?/span>平面，故.

，故，

即，因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）因?yàn)?/span>，所以，由（I）知，平面，所以兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，

則，.設(shè)平面的法向量為，

由得令可得，故；

又為平面的一個(gè)法向量，平面與平面所成角的平面角的余弦值為，

所以，解得（負(fù)值舍去），故.