Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中為常數(shù)， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，變量分離，構(gòu)造函數(shù)，討論其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)簡(jiǎn)圖可得其范圍.

（2）先構(gòu)造函數(shù)為和0比較大小 ，再利用在區(qū)間上的單調(diào)性比較大小.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>， .

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，

令，則，

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，且，

結(jié)合函數(shù)簡(jiǎn)圖可知， ，所以.

（2）不妨設(shè)，由（1）可知， ，所以，

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則

所以當(dāng)即時(shí)， 即.

又，所以可化為，

即即，

令，則，

令，則，

當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增， .證畢.

點(diǎn)晴:本題考查的是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題和極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.函數(shù)的極值點(diǎn)即導(dǎo)數(shù)方程的變號(hào)零點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)方程有兩個(gè)不等根的問(wèn)題，求導(dǎo)研究函數(shù)的圖象增減即可.極值點(diǎn)偏移即解決兩個(gè)問(wèn)題，在一部分區(qū)間上構(gòu)造函數(shù)和0比，在另外一區(qū)間上利用函數(shù)的單調(diào)性，比較大小即可.