【題目】已知點(diǎn)A(0,﹣2),橢圓E: + =1(a>b>0)的離心率為 ,F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn),直線AF的斜率為 ,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.
【答案】
(1)解:設(shè)F(c,0),由條件知 ,得 又 ,
所以a=2,b2=a2﹣c2=1,故E的方程 .
(2)解:依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意,故設(shè)直線l:y=kx﹣2,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)
將y=kx﹣2代入 ,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,
當(dāng)△=16(4k2﹣3)>0,即 時(shí),
從而
又點(diǎn)O到直線PQ的距離 ,所以△OPQ的面積 = ,
設(shè) ,則t>0, ,
當(dāng)且僅當(dāng)t=2,k=± 等號成立,且滿足△>0,
所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),l的方程為:y= x﹣2或y=﹣ x﹣2
【解析】(1)通過離心率得到a、c關(guān)系,通過A求出a,即可求E的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx﹣2,設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2)將y=kx﹣2代入 ,利用△>0,求出k的范圍,利用弦長公式求出|PQ|,然后求出△OPQ的面積表達(dá)式,利用換元法以及基本不等式求出最值,然后求解直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,數(shù)列滿足:,.
(1)求;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和;
(3)記集合,若的子集個(gè)數(shù)為32,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠在政府的幫扶下,準(zhǔn)備轉(zhuǎn)型生產(chǎn)一種特殊機(jī)器,生產(chǎn)需要投入固定成本萬元,生產(chǎn)與銷售均已百臺計(jì)數(shù),且每生產(chǎn)臺,還需增加可變成本萬元,若市場對該產(chǎn)品的年需求量為臺,每生產(chǎn)百臺的實(shí)際銷售收入近似滿足函數(shù).
()試寫出第一年的銷售利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(單位:百臺,,)的函數(shù)關(guān)系式:(說明:銷售利潤=實(shí)際銷售收入-成本)
()因技術(shù)等原因,第一年的年生產(chǎn)量不能超過臺,若第一年的年支出費(fèi)用(萬元)與年產(chǎn)量(百臺)的關(guān)系滿足,問年產(chǎn)量為多少百臺時(shí),工廠所得純利潤最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知標(biāo)準(zhǔn)方程下的橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且經(jīng)過點(diǎn),它的一個(gè)焦點(diǎn)恰好與拋物線的焦點(diǎn)重合.橢圓的上頂點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),連接、,記直線的斜率分別為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.
(1)證明:AC=AB1;
(2)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C: + =1,直線l: (t為參數(shù))
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程.
(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線,交l于點(diǎn)A,求|PA|的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(x+ ),x∈R,且f( )= .
(1)求A的值;
(2)若f(θ)+f(﹣θ)= ,θ∈(0, ),求f( ﹣θ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為 (θ為常數(shù)).
(1)求直線l和圓C的普通方程;
(2)若直線l與圓C有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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