Question

已知各項為正數(shù)的數(shù)列中，，對任意的，成等比數(shù)列，公比為；成等差數(shù)列，公差為，且．
（1）求的值；
（2）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
（3）求數(shù)列的前項和．

Answer 1

（1）2；（2）或；（3）時，，時，.

試題分析：（1）求數(shù)列的，相對較容易，由題意可得成等比數(shù)列，而，可求得；（2）要證明是等差數(shù)列，實質(zhì)上就是求，求出的遞推關(guān)系，從而推導(dǎo)出的遞推關(guān)系，由題意，，而，這樣就有，于是關(guān)于的遞推關(guān)系就有了：，把它變形或用代入就可得到結(jié)論；（3）由（2）我們求出了，下面為了求，我們要把數(shù)列從前到后建立一個關(guān)系，分析已知，發(fā)現(xiàn)，這樣就由而求出，于是，，得到數(shù)列的通項公式后，其前項和也就可求得了.
試題解析：（1）由題意得
，，或.       2分
∵，∴．                4分
（2）∵成公比為的等比數(shù)列，
成公比為的等比數(shù)列
∴，
又∵成等差數(shù)列，
∴.
得，，       6分
，
∴，，即.
∴數(shù)列數(shù)列為公差等差數(shù)列，   10分
（3）由（1）數(shù)列的前幾項為，，
由（2），.
，，
，
.      16分