觀察
（1）tan5°tan15°+tan5°tan70°+tan15°tan70°=1
（2）tan10°tan25°+tan25°tan55°+tan10°tan55°=1
（3）tan20°tan30°+tan20°tan40°+tan30°tan40°=1
由以上三式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出一般結(jié)論，并證明．

解：設(shè) 0°＜α＜β＜γ＜90°，且α+β+γ=90°，則由題中所給的三個式子可得 tanα•tanβ+tanα•tanγ+tanβ•tanγ=1．
證明：∵α+β=90°-γ，∴tan（α+β）•tanγ=1．
∴tanα•tanβ+tanα•tanγ+tanβ•tanγ=tanα•tanβ+（tanα+tanβ）•tanγ=tanα•tanβ+tan（α+β）（1-tanαtanβ）tanγ
=tanα•tanβ+（1-tanαtanβ）=1，
故tanα•tanβ+tanα•tanγ+tanβ•tanγ=1 成立．
分析：由題意得，式子中共有三個角，最大角與最小角的和與另一個角互余，結(jié)論是：其中任意兩個角的正切值之積相加得到的和為1．利用互余的兩個角的正切值等于1，兩角和的正切公式
的變形公式證明等式成立．
點(diǎn)評：本題主要考查歸納推理，分析出式子中三個角的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵，以及互余的兩個角的正切值等于1，兩角和的正切公式的變形應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、觀察下列幾個三角恒等式：
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
②tan5°tan100°+tan100°tan（-15°）+tan（-15°）tan5°=1；
③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1．
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意義，你從這三個恒等式中猜想得到的一個結(jié)論為
當(dāng)α+β+γ=90°時(shí)，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

14、觀察下列幾個三角恒等式：
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1；
③tan5°tan100°+tan100°tan（-15°）+tan（-15°）tan5°=1
④tan（-160）°tan（-22）°+tan（-22）°tan272°+tan272°tan（-160）°=1
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意義，你從這四個恒等式中猜想得到的一個結(jié)論為
當(dāng)α+β+γ=90°時(shí)，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察
（1）tan5°tan15°+tan5°tan70°+tan15°tan70°=1
（2）tan10°tan25°+tan25°tan55°+tan10°tan55°=1
（3）tan20°tan30°+tan20°tan40°+tan30°tan40°=1
由以上三式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出一般結(jié)論，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察（1）tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1
   （2）tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1
由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論
若α，β，γ都不是90°，且α+β+γ=90°，tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1
若α，β，γ都不是90°，且α+β+γ=90°，tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1
．

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