已知函數(shù)
(
,
),
.
(1)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間,并確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若
在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求
的取值范圍;
(3)證明不等式
(
).
(1)當(dāng)
時(shí),
為
的減區(qū)間,
為
的增區(qū)間,
有且只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)
時(shí),
為
的增區(qū)間,
為
的減區(qū)間,
有且只有一個(gè)零點(diǎn).
(2)
(3)由(2)可知 當(dāng)
時(shí),
在
內(nèi)單調(diào)遞增,
而
所以當(dāng)
時(shí),
即
放縮法來(lái)得到。
試題分析:解:(1)
1分
則
2分
(i)若
,則當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
所以
為
的增區(qū)間,
為
的減區(qū)間. 3分
極大值為
所以
只有一個(gè)零點(diǎn)
.
(ii)若
,則當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
所以
為
的減區(qū)間,
為
的增區(qū)間.
極小值為
4分
所以
只有一個(gè)零點(diǎn)
.
綜上所述,
當(dāng)
時(shí),
為
的減區(qū)間,
為
的增區(qū)間,
有且只有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)
時(shí),
為
的增區(qū)間,
為
的減區(qū)間,
有且只有一個(gè)零點(diǎn).
5分
(2)
6分
由
在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,可知
,
恒成立.
則
恒成立. 7分
(法一)由二次函數(shù)的圖象(開(kāi)口向上,過(guò)定點(diǎn)
)可得
或
8分
則
或
則
或
得
.
可以驗(yàn)證 當(dāng)
時(shí)
在其定義域
內(nèi)單調(diào)遞增
故
. 9分
(法二)分離變量
因
(當(dāng)且僅當(dāng)
,即
時(shí)取到等號(hào)) 8分
所以
, 則
.
可以驗(yàn)證 當(dāng)
時(shí)
在其定義域
內(nèi)單調(diào)遞增
故
9分
(3)由(2)可知 當(dāng)
時(shí),
在
內(nèi)單調(diào)遞增,
而
所以當(dāng)
時(shí),
即
10分
令
,
則
11分
則
所以
,
, ,
,
,
以上
個(gè)式子累加可得
12分
則
則
13分
則
故
(
). 14分
點(diǎn)評(píng):主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)與不等式中的運(yùn)用,屬于中檔題。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
.
(1)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若
,求函數(shù)
的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
定義在
上的函數(shù)
滿足
.若當(dāng)
時(shí)。
,則當(dāng)
時(shí),
=________________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(Ⅰ)設(shè)
是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù),滿足
,且對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b有
求
;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)
滿足
求
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
若函數(shù)
;
(2)
=
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
進(jìn)貨原價(jià)為80元的商品400個(gè),按90元一個(gè)售出時(shí),可全部賣出.已知這種商品每個(gè)漲價(jià)一元,其銷售數(shù)就減少20個(gè),問(wèn)售價(jià)應(yīng)為多少時(shí)所獲得利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
設(shè)p:函數(shù)y=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; q:曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn).如果p∧q為假,p∨q為真,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
定義運(yùn)算
( )
A.(0, 1) | B.(-¥, 1) | C.(0, 1) | D.[1, +¥] |
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