Question

已知函數f(x)=ax+b，當x∈[a₁，b₁]時，值域為[a₂，b₂]；當x∈[a₂，b₂]時，值域為[a₃，b₃]；…，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，值域為[a_n，b_n](其中n∈N₊,a、b為常數)，且a₁=0,b₁=1．

(1)若a=1，求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；

(2)若a＞0且a≠1，要使{b_n}是公比不為1的等比數列，求b的值；

(3)若0＜a＜1，設數列{a_n}與{b_n}前n項和分別為S_n和T_n，求(T_n-S_n)的值．

Answer 1

解:(1)∵a=1＞0,∴f(x)是增函數,由題意,

a_n=a·a_n-1+b,b_n=a·b_n-1+b(n≥2)

又a=1,∴a_n=a_n-1+b,b_n=b_n-1+b(n≥2)

∴{a_n}、{b_n}均為公差為b的等差數列

又∵a₁=0,b₁=1,∴a_n=(n-1)b,b_n=1+(n-1)b 

(2)∵b_n=ab_n-1+b(n≥2)  ∴=(n≥2)

∵a＞0且a≠1,∴要使{b_n}為公比不是1的等比數列,必為常數.  ∴b=0 

(3)∵0＜a＜1  a_n=aa_n-1+b,b_n=a·b_n-1+b(n≥2)

兩式相減，得，b_n-a_n=a(b_n-1-a_n-1)(n≥2)

∴{b_n-a_n}是以a為公比的等比數列,

∴b_n-a_n=(b₁-a₁)a^n-1  即b_n-a_n=a^n-1 

∴T_n-S_n=(0＜a＜1)

∴