Question

已知分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓 上，且直線與直線的斜率之積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)為橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，直線，與橢圓的右準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)，．

①在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得?若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說明理由；

②已知常數(shù)，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）①存在點(diǎn)的坐標(biāo)為，②.

【解析】

試題分析：（1）利用題目條件建立關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組即可；

（2）①對(duì)于存在性問題，可以先假設(shè)點(diǎn)存在，然后根據(jù)以及點(diǎn)P在橢圓上直線，與橢圓的右準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)，等相關(guān)條件建立方程，看看點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是不是定值，如果是即為所求，如果不是也就說明了不存在；②利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算， ，進(jìn)而求出的表達(dá)式，在利用函數(shù)知識(shí)求取值范圍.

試題解析：（1）由題意得，，

， ∴，

由點(diǎn)在橢圓C上，則有：

， 2分

由以上兩式可解得．

∴橢圓方程為． 4分

（2）①橢圓右準(zhǔn)線的方程為． 5分

假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn),使得．設(shè)點(diǎn)()．

直線的方程為，令，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．

直線的方程為，令，，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為． 7分

若，則，∵ ，，

∴． 9分

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，∴ ，代入上式，得 ，

∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為． 11分

②∵， ，

∴．

∵，，∴．

∴ ． 13分

設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，的取值范圍為，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的取值范圍為 ．

綜上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，

當(dāng)時(shí)，的取值范圍為． 16分

考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）函數(shù)的單調(diào)性求值域.