Question

牧場中羊群的最大養(yǎng)殖量為m，為了保證羊群的生長空間，實際養(yǎng)殖量x小于m，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量m-x．已知羊群的年增長量y與“實際養(yǎng)殖量與空閑率（空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值）的乘積”成正比，比例系數(shù)為k（k＞0）．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求羊群年增長量的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)羊群年增長量達(dá)到最大值時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由羊群的年增長量y與“實際養(yǎng)殖量與空閑率（空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值）的乘積”成正比，比例系數(shù)為k（k＞0），我們根據(jù)題意求出空閑率，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；
（II）由（I）中給出的y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，我們使用配方法，易分析出羊群年增長量的最大值；
（Ⅲ）由題意知

m

2

+

km

4

≤m，解不等式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，空閑率為

m-x

m

∴y=kx

m-x

m

=

k

m

x(m-x)，x∈（0，m）…（4分）
（Ⅱ）y=

k

m

x(m-x)=-

k

m

(x-

m

2

)2+

km

4

，x∈（0，m）…（6分）
因為函數(shù)y=

k

m

x(m-x)=-

k

m

(x-

m

2

)2+

km

4

在(0，

m

2

)上是增函數(shù)，在(

m

2

，m)上是減函數(shù)．
所以當(dāng)x=

m

2

時，ymax=

km

4

，所以羊群年增長量的最大值為ymax=

km

4

．…（8分）
（Ⅲ）由題意知

m

2

+

km

4

≤m…（10分）
得0＜k≤2…（11分）
答：當(dāng)羊群年增長量達(dá)到最大值時，k的取值范圍為0＜k≤2．…（12分）

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查配方法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．