【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),圓,定點(diǎn),點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn),線段的垂直平分線交圓的半徑于點(diǎn),點(diǎn)的軌跡為.
(1)求曲線的方程;
(2)已知點(diǎn)是曲線上但不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),曲線與軸的焦點(diǎn)分別為,直線和分別與軸相交于兩點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)線段長(zhǎng)之積是否為定值?如果還請(qǐng)求出定值,如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn),求面積的最大值.
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析;(3).
【解析】
試題(1)依題意可得:圓的圓心坐標(biāo)為半徑為,,則 .根據(jù)橢圓定義,是以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,由此即可求出的方程.(2)設(shè)直線方程為:,令得:,同理可得:,所以,因?yàn)辄c(diǎn)是上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),所以,可得,因此的定值為4.(3)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)時(shí),點(diǎn),,
設(shè)直線的方程為:, ,聯(lián)立消并整理得:.解得:,
所以.所以的面積,.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,可得,所以當(dāng)即直線的方程為:時(shí),面積的最大值是.
試題解析:
(1)依題意可得:圓的圓心坐標(biāo)為半徑為,,
則 .
根據(jù)橢圓定義,是以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,
設(shè)其方程為:,
∴即,∴.
∴的方程為:.
(2)證明:設(shè)直線方程為:,
令得:,同理可得:,
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)是上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),所以
即,
所以,因此的定值為4.
(3)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)時(shí),點(diǎn),,
設(shè)直線的方程為:, ,
聯(lián)立消并整理得:.
解得:,
所以.
所以的面積,
.
∵,,∴在上為增函數(shù),
∴,所以∴,
所以當(dāng)即直線的方程為:時(shí),面積的最大值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖正方體的棱長(zhǎng)為a,以下結(jié)論不正確的是( )
A. 異面直線與所成的角為
B. 直線與垂直
C. 直線與平行
D. 三棱錐的體積為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f (x)=x-(a+1)ln x-(a∈R),g (x)=x2+ex-xex.
(1)當(dāng)x∈[1,e] 時(shí),求f (x)的最小值;
(2)當(dāng)a<1時(shí),若存在x1∈[e,e2],使得對(duì)任意的x2∈[-2,0],f (x1)<g (x2)恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:(),左、右焦點(diǎn)分別是、且,以為圓心,3為半徑的圓與以為圓心,1為半徑的圓相交于橢圓上的點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓:,為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),射線交橢圓于點(diǎn)
①求的值;
②令,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),且在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(Ⅰ)證明;
(Ⅱ)求的解析式;
(Ⅲ)若對(duì)于任意的,,不等式恒成立,試問(wèn):這樣的是否存在,若存在,請(qǐng)求出的范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知如圖幾何體,正方形和矩形所在平面互相垂直,,為的中點(diǎn),.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)已知函數(shù),,如果函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、,求證:.(參考數(shù)據(jù):,,,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
已知橢圓和拋物線有公共焦點(diǎn)F(1,0),的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線與拋物線分別相交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若,求直線的方程;
(Ⅲ)若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上,直線與橢圓有公共點(diǎn),求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知及.
(1)分別求、的定義域,并求的值;
(2)求的最小值并說(shuō)明理由;
(3)若,,,是否存在滿足下列條件的正數(shù),使得對(duì)于任意的正數(shù),、、都可以成為某個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)?若存在,則求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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