Question

若常數(shù)a使得關(guān)于x的方程lg（x²+20x）-lg（8x-6a-3）=0有惟一解．則a的取值范圍是

(-

163

6

，-

1

2

)

．

Answer 1

分析：將方程中的對(duì)數(shù)符號(hào)去除，得到方程6a=-x²-12x-3在x∈（-∞，-20）∪（0，+∞）時(shí)有唯一解，然后采用變量分離求函數(shù)值域的方法，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：原方程lg（x²+20x）-lg（8x-6a-3）=0等價(jià)于

x2+20x=8x-6a-3 x 2+20x＞0

⇒6a=-x²-12x-3在x∈（-∞，-20）∪（0，+∞）時(shí)有唯一解
記F（x）=-x²-12x-3=-（x+6）²+33
當(dāng)x∈（-∞，-20）時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（-20）=-163；當(dāng)x∈（0，+∞））時(shí)，F(xiàn)（x）≤F（0）=-3
故當(dāng)x∈（0，8）時(shí)，F(xiàn)（x）∈（-163，-3），且函數(shù)是單值對(duì)應(yīng)
所以6a∈（-163，-3）時(shí)，原方程有唯一解，得a∈(-

163

6

，-

1

2

)
故答案為：(-

163

6

，-

1

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含有對(duì)數(shù)的方程的解法，以及方程根的存在性等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．解題時(shí)應(yīng)該注意：對(duì)數(shù)的真數(shù)要大于零．