Question

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)等價(jià)于方程在有兩個(gè)不同根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，討論函數(shù)單調(diào)性和極值根據(jù)圖象即可求的取值范圍；（2）作差得，，即.原不等式等價(jià)于，，則，只需證明不等式成立即可.

試題解析：（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以方程在有兩個(gè)不同根.

即，方程在有兩個(gè)不同根.

轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn).

又，即時(shí)，，時(shí)，，

所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，從而.

又有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在時(shí)，，在時(shí)，，

所以的草圖如下，

可見，要想函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需.

（2）由（1）可知分別是方程的兩個(gè)根，即，，

設(shè)，作差得，，即.

原不等式等價(jià)于

令，則，，

設(shè)，，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，

即不等式成立，

故所證不等式成立.