【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC. ……………4分
(Ⅱ)∵D為PB的中點,DE//BC,
∴
,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,……………6分
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP為等腰直角三角形,∴
,
∴在Rt△ABC中,
,∴
.
∴在Rt△ADE中,
,
∴
與平面
所成的角的大小
……………8分.
(Ⅲ)∵DE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE
平面PAC,PE
平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP為二面角
的平面角, ……………10分
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴
.
∴在棱PC上存在一點E,使得AE⊥PC,這時
,
故存在點E使得二面角
是直二面角. ……………12分
【解法2】如圖,以A為原煤點建立空間直角坐標系
,
設(shè)
,由已知可得
.……………2分
(Ⅰ)∵
,
∴
,∴BC⊥AP.
又∵
,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC. ……………4分
(Ⅱ)∵D為PB的中點,DE//BC,∴E為PC的中點,
∴
,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角, ……………6分
∵
,∴
.
∴
與平面
所成的角的大小
……………8分
(Ⅲ)解法同一 (略)