Question

用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥，對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農藥量的

1

2

，用水越多洗掉的農藥量也越多，但總還有農藥殘留在蔬菜上．設用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農藥量與本次清洗前殘留的農藥量之比為函數(shù)f（x）．
（Ⅰ）試規(guī)定f（0）的值，并解釋其實際意義；
（Ⅱ）試根據(jù)假定寫出函數(shù)f（x）應該滿足的條件和具有的性質；
（Ⅲ）設f(x)=

1

1+x2

．現(xiàn)有a（a＞0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農藥量比較��？說明理由．

Answer 1

分析：（1）規(guī)定：“f（0）=1”，表示沒有用水洗時，蔬菜上殘留的農藥量將保持原樣．
（2）根據(jù)實際意義確定函數(shù)f（x）應該滿足的條件和具有的性質；
（3）先設僅清洗一次，計算出殘留在農藥量，清洗兩次后，殘留的農藥量，再比較它們的大小關系即得．

解答：解：（1）f（0）=1，表示沒有用水洗時，蔬菜上殘留的農藥量將保持原樣．
（2）函數(shù)f（x）應該滿足的條件和具有的性質是：f(0)=1，f(1)=

1

2

在[0，+∞）上f（x）單調遞減，
且0＜f（x）≤1．
（3）設僅清洗一次，殘留在農藥量為f1=

1

1+a2

，
清洗兩次后，殘留的農藥量為f2=[

1

1+( a 2 )2

]2=

16

(a2+4)2

，
則f1-f2=

a2(a2-8)

(a2+1)(a2+4)2

；
于是，當a＞2

2

時，清洗兩次后殘留在農藥量較少；當a=2

2

時，兩種清洗方法具有相同的效果；
當0＜a＜2

2

時，一次清洗殘留的農藥量較少．

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用、不等式的解示及比較法比較大小等，屬于基礎題．考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型，以及運用函數(shù)的知識解決實際問題的能力．