已知橢圓C1：
x2
2
+y2=1和圓C2：x2+y2=1，左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為A，B，且F是橢圓C1的右焦點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P是曲線C2上位于第二象限的一點(diǎn)，且△APF的面積為
1
2
+
2
4
，求證：AP⊥OP；
（2）點(diǎn)M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．
證明：（1）設(shè)曲線C2上的點(diǎn)P（x0，y0），且x0＜0，y0＞0，由題意A（-
2
，0），F(xiàn)（1，0）
∵△APF的面積為
1
2
+
2
4
，∴
1
2
|AF|y0=
1
2
(1+
2
)y0=
1
2
+
2
4

∴y0=
2
2
，x0=-
2
2

∴
AP
•
OP
=(
2
2
，
2
2
)•(-
2
2
，
2
2
)=0
∴AP⊥OP；
（2）設(shè)直線BM的斜率為k，則直線BN的斜率為2k，又兩直線都過(guò)點(diǎn)B（0，-1）
∴直線BM的方程為y=kx-1，直線BN的方程為y=2kx-1
將y=kx-1代入橢圓方程，消元可得（1+2k2）x2-4kx=0，∴xM=
4k
2k2+1
，∴yM=
2k2-1
2k2+1

∴M（
4k
2k2+1
，
2k2-1
2k2+1
）
同理N（
4k
4k2+1
，
4k2-1
4k2+1
）
∴直線MN的斜率為kMN=
4k2-1
4k2+1
-
2k2-1
2k2+1
4k
4k2+1
-
4k
2k2+1
=-
1
2k

∴直線MN的方程為y-
2k2-1
2k2+1
=-
1
2k
（x-
4k
2k2+1
）
整理得y=-
1
2k
x+1
∴直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

若直線mx+ny-5=0與圓x2+y2=5沒(méi)有公共點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓
x2
7
+
y2
5
=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　�。�
A．0B．1C．2D．1或2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

直線l：x-y=0與橢圓
x2
2
+y2=1相交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，A、B分別是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點(diǎn)，P是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點(diǎn)，如果D恰是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：無(wú)論常數(shù)a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2
5
，且過(guò)點(diǎn)（-3，2），⊙O的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）2+（y-6）2=4，過(guò)⊙M上任一點(diǎn)P作⊙O的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點(diǎn)為Q，當(dāng)弦PQ最大時(shí)，求直線PA的直線方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

在橢圓
x2
16
+
y2
9
=1內(nèi)，有一內(nèi)接三角形ABC，它的一邊BC與長(zhǎng)軸重合，點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則△ABC的重心的軌跡方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)C(
3
2
，
3
2
)在橢圓上，且滿足
OC
•
OA
=
3
2
．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓交于兩點(diǎn)M，N，當(dāng)
OM
+
ON
=m
OC
，m∈(0，2)時(shí)，求△OMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直線x-y+1=0經(jīng)過(guò)橢圓S：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓S的方程；
（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．
①若直線PA平分線段MN，求k的值；
②對(duì)任意k＞0，求證：PA⊥PB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
3
2
，點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱．一曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知點(diǎn)S(0，-
3
)，T(0，
3
)，求∠SPT的最小值；
（3）若點(diǎn)F(1，
3
2
)是曲線E上的一點(diǎn)，設(shè)M，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線MN的斜率是否為定值，如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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