Question

設(shè)a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，
（1）若

OA

=2a-b，

OB

=3a+b，

OC

=a-3b，求證：A、B、C三點(diǎn)共線．
（2）若8a+kb與ka+2b共線，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）設(shè)

OM

=ma，

ON

=nb，

OP

=α a+β b，其中m、n、α、β均為實(shí)數(shù)，m≠0，n≠0，若M、P、N三點(diǎn)共線，
求證：

α

m

+

β

n

=1．

Answer 1

分析：（1）要證三點(diǎn)共線，先構(gòu)造以這三點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，讓所給的三個(gè)向量兩兩相減，得到關(guān)于A、B、C的向量，加以驗(yàn)證即可．
（2）兩個(gè)向量共線，則其中一個(gè)可以寫成另一個(gè)的實(shí)數(shù)倍，根據(jù)系數(shù)相等，構(gòu)成方程，解方程即可．
（3）這一問恰好和第一問相反，但是解題的原理是一樣的，從三點(diǎn)共線入手，得到系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)α、β和其他幾個(gè)量之間的關(guān)系，得到結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵

AB

=（3a+b）-（2a-b）=a+2b，
而

BC

=（a-3b）-（3a+b）=-2a-4b=-2

AB

，
∴

AB

與

BC

共線，且有公共端點(diǎn)B，
∴A、B、C三點(diǎn)共線．
（2）∵8a+kb與ka+2b共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得（8a+kb）=λ（ka+2b）?（8-λk）a+（k-2λ）b=0，
∵a與b不共線，

8-λk=0 k-2λ=0

?8=2λ=±2∴k=2λ=±4．
（3）證明：∵M(jìn)、P、N三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得

MP

=λ

PN

，
∴

OP

=

OM +λ ON

1+λ

=

m

1+λ

a+

λn

1+λ

b．
∵a、b不共線，∴

α= m 1+λ β= λn 1+λ

∴

α

m

+

β

n

=

1

1+λ

+

λ

1+λ

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查的是向量共線和向量用基底表示，用一組向量來表示一個(gè)向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題．