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【題目】已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為.

（1）若過點的直線與拋物線有且只有一個交點，求直線的方程；

（2）若直線與拋物線交于兩點，求的面積.

【答案】(1)x=0或y=1或y=x+1；(2) .

【解析】試題分析：

（1）求出，分類討論，直線與拋物線方程聯(lián)立，即可求解直線的方程；

（2）直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理，根據的面積，即可求解的面積．

試題解析：

（1）∵拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F（1，0），拋物線E：x2=2py的焦點為M，

∴p=2，M（0，1）

斜率不存在時，x=0，滿足題意；

斜率存在時，設方程為y=kx+1，代入y2=4x，可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，

k=0時，x=，滿足題意，方程為y=1；

k≠0時，△=（2k﹣4）2﹣4k2=0，∴k=1，方程為y=x+1，

綜上，直線l的方程為x=0或y=1或y=x+1；

（2）直線MF的方程為y=﹣x+1，代入y2=4x，可得y2+4y﹣4=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4，

∴△OAB的面積S=|OF||y1﹣y2|==2．

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y2=2px（p＞0）的準線l與x軸交于點M，過點M的直線與拋物線交于A，B兩點，設A（x1 ， y1）到準線l的距離d=2λp（λ＞0）

（1）若y1=d=3，求拋物線的標準方程；
（2）若 +λ = ，求證：直線AB的斜率的平方為定值．

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【題目】某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（ ）

A. B. C. D. 2

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（1）求證：平面平面；

（2）若過直線的一個平面與線段和分別相交于點和 (點與點均不重合），求證： ；

（3）判斷線段上是否存在一點，使得平面平面?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，在棱臺ABC﹣FED中，△DEF與△ABC分別是棱長為1與2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四邊形BCDE為直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N為CE中點， ．
（Ⅰ）λ為何值時，MN∥平面ABC？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求直線AN與平面BMN所成角的正弦值．

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【題目】已知f（x）=e2x+ln（x+a）．
（1）當a=1時，①求f（x）在（0，1）處的切線方程；②當x≥0時，求證：f（x）≥（x+1）2+x．
（2）若存在x0∈[0，+∞），使得 成立，求實數a的取值范圍．

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【題目】在△ABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x－2y＋1＝0，∠A的平分線所在的直線方程為y＝0．若點B的坐標為(1,2)，求點A和點C的坐標．

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【題目】設橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中 為原點， 為橢圓的離心率.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率.

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【題目】某物流公司進行倉儲機器人升級換代期間，第一年有機器人臺，平均每臺機器人創(chuàng)收利潤萬元．預測以后每年平均每臺機器人創(chuàng)收利潤都比上一年增加萬元，但該物流公司在用機器人數量每年都比上一年減少．

（1）設第年平均每臺機器人創(chuàng)收利潤為萬元，在用機器人數量為臺，求，的表達式；

（2）依上述預測，第幾年該物流公司在用機器人創(chuàng)收的利潤最多？

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