Question

某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值．
（Ⅰ）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）記“函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析：（I）ξ表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值，根據(jù)客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3．和客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，寫(xiě)出變量的可能取值，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率寫(xiě)出分布列和期望．
（II）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，寫(xiě)出函數(shù)遞增的變量的值，知道只有當(dāng)變量對(duì)應(yīng)1是成立，得到結(jié)果．

解答：解：（I）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”
為事件A₁，A₂，A₃．由已知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，
P（A₃）=0.6．
客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3．
客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，
∴ξ的可能取值為1，3．
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

）
=P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P（

.

A1

）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（ξ=1）=1-0.24=0.76．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
（Ⅱ）∵f（x）=(x-

3

2

ξ)2+1-

9

4

ξ2，
∴函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[

3

2

ξ，+∞]上單調(diào)遞增，
要使f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)且僅當(dāng)

3

2

ξ≤2，即ξ≤

4

3

．
從而P（A）=P（ξ≤

4

3

）=P（ξ=1）=0.76．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一個(gè)綜合題目，這種題目可以作為解答題目出現(xiàn)在高考試卷中．