已知△ABC的面積S滿足4≤S≤4
3
，且
AB
•
AC
=-8．
（Ⅰ）求角A的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f(x)=cos2
x
4
-2sin2
x
4
+3
3
sin
x
4
•cos
x
4
，求f（A）的最大值．
分析：（Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積的定義求出 |
AB
|•|
AC
|=
-8
cosA
，再由S=
1
2
|
BA
|•|
AC
|•sinA，可得-
3
≤tanA≤-1，根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，求出A∈[
2π
3
，
3π
4
]．
（Ⅱ）利用，二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡f（A）的解析式為3sin(
A
2
+
π
6
)-
1
2
，可得當
A
2
+
π
6
=
π
2
時，f（A）取得最大值
5
2
．
解答：解：（Ⅰ）∵
AB
•
AC
=-8，∴
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|•cosA=-8，∴|
AB
|•|
AC
|=
-8
cosA
①．
∵S=
1
2
|
BA
|•|
AC
|•sinA②，將①代入②得S=-4tanA，由4≤S≤4
3
，得-
3
≤tanA≤-1，
又A∈（0，π），∴A∈[
2π
3
，
3π
4
]．
（Ⅱ）f(A)=cos2
A
4
-2sin2
A
4
+3
3
sin
A
4
•cos
A
4
=
1
2
(1+cos
A
2
)-(1-cos
A
2
)+
3
3
2
sin
A
2
=
3
3
2
sin
A
2
+
3
2
cos
A
2
-
1
2

=3(
3
2
sin
A
2
+
1
2
cos
A
2
)-
1
2
=3(sin
A
2
cos
π
6
+cos
A
2
sin
π
6
)-
1
2
=3sin(
A
2
+
π
6
)-
1
2
，
當
A
2
+
π
6
=
π
2
，即A=
2π
3
時，sin(
A
2
+
π
6
)取得最大值，同時，f（A）取得最大值
5
2
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，二倍角公式的應(yīng)用，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，化簡f（A）的解析式，是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•和平區(qū)三模）已知△ABC的面積S滿足
3
≤S≤3，且
AB
•
BC
=6，
AB
與
BC
的夾角為θ．
（1）求θ的范圍．
（2）求函數(shù)f（θ）=
1-
2
cos(2θ-
π
4
)
sinθ
的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別是三內(nèi)角A，B，C的對邊，已知△ABC的面積S=
3
，a=2
3
，b=2，求第三邊c的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的面積S=5
3
，AB=4，最大邊AC=5，那么BC邊的長為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•海淀區(qū)二模）已知△ABC的面積S=
3
，∠A=
π
3
，則
AB
•
AC
=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•寶山區(qū)一模）已知△ABC的面積S=4，b=2，c=6，則sinA=
2
3
2
3
．

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