Question

12分）某城市有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D．

(I)求AB的長度；
(Ⅱ)若建造環(huán)境標(biāo)志的費(fèi)用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用最低，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）A、B兩點(diǎn)的距離為14.（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得cosC 的值，在△ABD中，由余弦定理得cosD 的值，由∠C=∠D得 cosC=cosD，求得AB=7，從而得出結(jié)論．
（Ⅱ）小李的設(shè)計(jì)符合要求，因?yàn)橛蓷l件可得 S_△ABD＞S_△ABC，再由AD=BD=AB=7，得△ABD是等邊三角形．由此求得S_△ABC的值，再乘以5000，即得所求．
解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得
  ①
在中，由余弦定理及整理得
    ②………4分
由①②得：
整理可得 ，……………6分
又為三角形的內(nèi)角，所以,
又,,所以是等邊三角形，
故，即A、B兩點(diǎn)的距離為14.……………8分
（Ⅱ）小李的設(shè)計(jì)符合要求.理由如下：


因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/47/c/ihmbg.png" style="vertical-align:middle;" />…………12分
所以
考點(diǎn)：本試題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用余弦定理得到cosD的值。