Question

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)于區(qū)間，若滿足，則稱區(qū)間為函數(shù)的區(qū)間.

（1）證明：區(qū)間是函數(shù)的區(qū)間；

（2）若區(qū)間是函數(shù)的區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且在上僅有個(gè)零點(diǎn)，證明：區(qū)間不是函數(shù)的區(qū)間.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題中定義代入驗(yàn)證即可證出；

（2）根據(jù)題中的新定義可得，由在上單調(diào)遞減，可得，只需即可求解.

（3）利用零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在上至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，由題意可得函數(shù)在上不存在零點(diǎn)，由，可得，，從而可得，結(jié)合定義即可求解.

（1）設(shè)，若，則

所以，，

取，滿足定義

所以區(qū)間是函數(shù)的區(qū)間，

（2）因?yàn)閰^(qū)間是函數(shù)的區(qū)間，

所以使得，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，

所以，

所以，，，

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為，

（3）因?yàn)?/span>，

所以在上存在零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)在上至少存在兩個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上僅有個(gè)零點(diǎn).

所以在上不存在零點(diǎn).

又因?yàn)?/span>，所以，，

所以，，

即因此不存在滿足，

所以區(qū)間不是函數(shù)的區(qū)間.