Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，a2=

1

2

，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]（n=1，2，3，…）
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n，記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證T_n＜3．

Answer 1

分析：第一問的求值較容易，只需要依次代入遞推公式逐步求出a₃，a₄，a₅，a₆的值，關(guān)鍵是求通項，要注意對n分奇偶數(shù)討論，這樣避免一般性解答時遇到麻煩．第二問是典型的等差比數(shù)列，方法是錯位相減法．

解答：解：（1）分別令n=1，2，3，4
可求得：a3=3，a4=

1

4

，a5=5，a6=

1

8

當n為奇數(shù)時，不妨設(shè)n=2m-1，m∈N^*，則a_2m+1-a_2m-1=2．
∴{a_2m-1}為等差數(shù)列，∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1即a_m=n．
當n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m，m∈N^*，則2a_2m+2-a_2m=0．
∴{a_2m}為等比數(shù)列，a2m=

1

2

•(

1

2

)m-1=

1

2m

，故an=(

1

2

)

n

2

．
綜上所述，an=

n，(n為奇) ( 1 2 ) n 2 ，(n為偶數(shù))

（2）bn=a2n-1•a2n=(2n-1)•

1

2n

∴Tn=1×

1

2

+3×

1

22

+5×

1

23

++(2n-1)•

1

2n

∴

1

2

Tn=1×

1

22

+3×

1

22

++(2n-3)•

1

2n

+(2n-1)•

1

2n

，
兩式相減：

1

2

Tn=

1

2

+2[

1

22

+

1

23

++

1

2n

]-(2n-1)•

1

2n+1

=

1

2

+2•

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(2n-1)•

1

2n+1

∴Tn=3-

2n+3

2n

，故T_n＜3．

點評：（1）中對n按照奇偶討論時要對數(shù)列的項數(shù)把握清楚，否則會因為項數(shù)不清導(dǎo)致錯誤．本題用到的思想方法有分類討論思想，數(shù)列求和的錯位相減法，證明不等式的放縮法．