Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-kx，其中k∈R；
（Ⅰ）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k＞0，且對(duì)于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng)k＞ln2-1且x＞0時(shí)，f（x）＞x²-3kx+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若k=e，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k＞0，且對(duì)于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，只需轉(zhuǎn)化為f（x）＞0對(duì)任意x≥0成立即可．
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．

解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^x-ex，所以f'（x）=e^x-e．
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），
由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1）．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函數(shù)．
于是f（|x|）＞0對(duì)任意x∈R成立等價(jià)于f（x）＞0對(duì)任意x≥0成立．
由f'（x）=e^x-k=0得x=lnk．
①當(dāng)k∈（0，1]時(shí)，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此時(shí)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．
②當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，lnk＞0．
當(dāng)x變化時(shí)f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依題意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．
綜合①，②得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0＜k＜e．
（Ⅲ）由題，f（x）＞x²-3kx+1，即e^x-kx＞x²-3kx+1?e^x-x²+2kx-1＞0
記g（x）=e^x-x²+2kx-1，則g'（x）=e^x-2x+2k，記h（x）=e^x-2x+2k
則h'（x）=e^x-2，得h'（x）＞0?e^x＞2?x＞ln2
因此，h（x）在（-∞，ln2）上遞減，在（ln2，+∞）上遞增；
得h（x）_min=h（ln2）=2-2ln2+2k；
因?yàn)�，k＞ln2-1，可得h（x）_min=2-2ln2+2k＞0
所以，g'（x）＞0，說(shuō)明g（x）在R上遞增，因此，當(dāng)x＞0時(shí)有g(shù)（x）＞g（0）=0
由上，e^x-x²+2kx-1＞0，因此得f（x）＞x²-3kx+1；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．