Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在上不單調(diào)，求a的取值范圍；

（2）當時，記的兩個零點是

①求a的取值范圍；

②證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.

【解析】

（1）先對函數(shù)求導整理得出，結(jié)合研究的區(qū)間，對的范圍進行討論，結(jié)合函數(shù)在某個區(qū)間上不單調(diào)的條件，即既有增區(qū)間，又有減區(qū)間，即在區(qū)間上存在極值點，得到結(jié)果；

（2）①將函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點轉(zhuǎn)化為方程有兩個解，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得結(jié)果；

②結(jié)合①，求得兩個零點所屬的區(qū)間，利用不等式的性質(zhì)證得結(jié)果.

（1）因為，所以，

當時，可知在上恒成立，

即在上單調(diào)遞增，不合題意，

當時，即時，可知時，單調(diào)減，

當時，單調(diào)增，所以滿足在上不單調(diào)，

所以a的取值范圍是；

（2）①令，得，即有兩個解，

令，則，

所以當時，，當時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

且當時，，當時，，且，

所以當時，記的兩個零點，a的取值范圍是；

②由①知，所以，

所以