【題目】已知函數(shù)f(x)= +x.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1))處的切線經(jīng)過點(0,﹣1),求a的值;
(2)是否存在負整數(shù)a,使函數(shù)f(x)的極大值為正值?若存在,求出所有負整數(shù)a的值;若不存在,請說明理由;
(3)設a>0,求證:函數(shù)f(x)既有極大值,又有極小值.

【答案】
(1)解:∵ ,f′(1)=1,f(1)=ae+1

∴函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線方程為:y﹣(ae+1)=x﹣1,又直線過點(0,﹣1)

∴﹣1﹣(ae+1)=﹣1,解得:a=﹣


(2)解:若a<0,∵ (x≠0),

當x∈(﹣∞,0)時,f′(x)>0恒成立,函數(shù)在(﹣∞,0)上無極值;

當x∈(0,1)時,f′(x)>0恒成立,函數(shù)在(0,1)上無極值;

在x∈(1,+∞)時,令H(x)=aex(x﹣1)+x2,則H′(x)=(aex+2)x,

∵x∈(1,+∞),∴ex∈(e,+∞,)∵a為負整數(shù)∴a≤﹣1,∴aex≤ae≤﹣e

∴aex+2<0,∴H′(x)<0,∴H(x)在(1,+∞)上單調(diào)減,

又H(1)=1>0,H(2)=ae2+4≤﹣e2+4<0∴x0∈(1,2),使得H(x0=0

且1<x<x0時,H′(x)>0,即f′(x)>0;x>x0時,H′(x)<0,即f′(x)<0;

∴f(x)在x0處取得極大值 (*)

又H(x0)=aex0(x0﹣1)+x02=0,∴ 代入(*)得:

,∴不存在負整數(shù)a滿足條件


(3)解:設g(x)=aex(x﹣1)+x2,則g′(x)=(aex+2)x,

因為a>0,所以,當x>0時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當x<0時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;故g(x)至多兩個零點.

又g(0)=﹣a<0,g(1)=1>0,所以存在x1∈(0,1),使g(x1)=0

再由g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增知,

當x∈(0,x1)時,g(x)<0,故f′(x)= ,f(x)單調(diào)遞減;

當x∈(x2,+∞)時,g(x)>0,故故f′(x)= ,f(x)單調(diào)遞增;

所以函數(shù)f(x)在x1處取得極小值.

當x<0時,ex<1,且x﹣1<0,

所以g(x)=aex(x﹣1)+x2>a(x﹣1)+x2=x2+ax﹣a,

函數(shù)y=x2+ax﹣a是關于x的二次函數(shù),必存在負實數(shù)t,使g(t)>0,又g(0)=﹣a<0,

故在(t,0)上存在x2,使g(x2)=0,

再由g(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減知,

當x∈(﹣∞,x2)時,g(x)>0,故f′(x)= ,f(x)單調(diào)遞增;

當x∈(x2,0)時,g(x)<0,故f′(x)= ,f(x)單調(diào)遞減;

所以函數(shù)f(x)在x2處取得極大值.

綜上,函數(shù)f(x)既有極大值,又有極小值


【解析】(1)第一步確定切點;第二步求斜率,即求曲線上該點的導數(shù);第三步利用點斜式求出直線方程.(2)根據(jù)可導函數(shù)極值的定義,找到極值點,求出極值,當極大值為正數(shù)時,從而判定負整數(shù)是否存在;(3)利用單調(diào)性與極值的關系,求證:既存在極大值,有存在極小值.
【考點精析】利用函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.

練習冊系列答案
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抽取順序

1

2

3

4

5

6

7

8

零件尺寸

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

抽取次序

9

10

11

12

13

14

15

16

零件尺寸

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

經(jīng)計算得=xi=9.97,s==≈0.212,≈18.439,(xi)(i﹣8.5)=﹣2.78,

 其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.

 (1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關系數(shù)r,并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)

 過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地

 變大或變小).

 (2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在﹣3s,+3s)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天

 的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.

、購倪@一天抽檢的結果看,是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查?

、谠﹣3s,+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的

 均值與標準差.(精確到0.01)

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班別

高一(1)班

高一(2)班

高一(3)班

人數(shù)

3

6

1

若要求從10位同學中選出兩位同學介紹學習經(jīng)驗,設其中來自高一(1)班的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望E(ξ).

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(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);

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方案二:從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個,黑球7個)的抽獎盒中,有放回每次摸取1球,連摸3次,每摸到1次紅球,立減200元.
(1)若兩個顧客均分別消費了 600元,且均選擇抽獎方案一,試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率;
(2)若某顧客消費恰好滿1000元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算.

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