求證:當(dāng)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)時,方程ax2+bx+c=0有不等實(shí)根的充要條件是:存在x0∈R使得a•f(x0)<0.
分析:結(jié)合二次函數(shù)和二次方程的特點(diǎn),從必要性和充分性兩方面來證即可.
解答:證明:必要性:設(shè)方程ax2+bx+c=0有不等實(shí)根x1<x2,
根據(jù)韋達(dá)定理有x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a

取x0=
x1+x2
2
=-
b
2a
,代入函數(shù)解析式可得
f(x0)=a(-
b
2a
)2+b(-
b
2a
)+c
=
4ac-b2
4a
,
因?yàn)榉匠逃袃蓚實(shí)根,所以b2-4ac>0,
所以a•f(x0)=
4ac-b2
4
<0成立;
充分性:如果存在x0使得a•f(x0)<0,即a2x2+abx+ac<0在x=x0處成立,
因?yàn)閍2>0,根據(jù)二次函數(shù)特點(diǎn),x=-
ab
2a2
處,a2x2+abx+ac 取得最小值,
為f(-
ab
2a2
)=ac-
b2
4
,既然它是最小值,那么f(-
ab
2a2
)≤f(x0)<0,
所以ac-
b2
4
<0,即b2-4ac>0,故原方程必然有2個不等實(shí)根;
綜上可得:方程ax2+bx+c=0有不等實(shí)根的充要條件是:存在x0∈R使得a•f(x0)<0.
點(diǎn)評:本題考查充要條件的證明,涉及一元二次方程根的分布,屬基礎(chǔ)題.
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設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
ax3+bx2+cx(a<b<c),其圖象在點(diǎn)A(1,f(1)),B(m,f(m))處的切線的斜率分別為0,-a.
(1)求證:0≤
b
a
<1

(2)若函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為[s,t],求|s-t|的取值范圍;
(3)若當(dāng)x≥k時(k是與a,b,c無關(guān)的常數(shù)),恒有f′(x)+a<0,試求k的最小值.

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(Ⅰ)若x1=-1,x2=2,求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若|x1|+|x2|=2
2
,求b的最大值;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)=f'(x)-a(x-x1),x∈(x1,x2),當(dāng)x2=a時,求證:|g(x)|≤
1
12
a(3a+2)2

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