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(本大題滿分13分)
若存在常數k和b (k、b∈R)，使得函數和對其定義域上的任意實數x分別滿足：和，則稱直線l：為和的“隔離直線”．已知， (其中e為自然對數的底數)．
(1)求的極值；
(2)函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．



(1)解：∵，
∴當時，
∵當時，，此時函數遞減；
當時，，此時函數遞增；
∴當時，F(x)取極小值，其極小值為0．                                                         

(2)解：由(1)可知函數和的圖象在處有公共點，
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．
設隔離直線的斜率為k，則直線方程為，即             

由，可得當時恒成立
由得：                                                                             

下面證明當時恒成立．
令，
則，                                                                          

當時，．
∵當時，，此時函數遞增；
當時，，此時函數遞減；
∴當時，取極大值，其極大值為0．                                                       

從而，即恒成立．
∴函數和存在唯一的隔離直線．                                             

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（本大題滿分13分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分8分.

如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面（不安裝上底面）.

(1)當圓柱底面半徑取何值時，取得最大值？并求出該

最大值（結果精確到0.01平方米）;

（2）在燈籠內，以矩形骨架的頂點為點，安裝一些霓虹燈，當燈籠的底面半徑為0.3米時，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大小（結果用反三角函數表示）

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年安徽省高三第一學期期中考試理科數學 題型：解答題

(本大題滿分13分)已知數列，設，數列.

   （1）求證：是等差數列；

    (2)求數列的前n項和Sn；

(3)若一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍.

 

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年安徽省高三第一學期期中考試理科數學 題型：解答題

(本大題滿分13分)如圖，現有一塊半徑為2m，圓心角為的扇形鐵皮，欲從其中裁剪出一塊內接五邊形，使點在弧上，點分別在半徑和上，四邊形是矩形，點在弧上，點在線段上，四邊形是直角梯形．現有如下裁剪方案：先使矩形的面積達到最大，在此前提下，再使直角梯形的面積也達到最大.

（Ⅰ）設,當矩形的面積最大時，求的值；

（Ⅱ）求按這種裁剪方法的原材料利用率．

 

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科目：高中數學 來源：2013屆江西省高二下學期第一次月考理科數學 題型：解答題

．（本大題滿分13分）

    已知點是橢圓右焦點，點、分別是x軸、   y上的動點，且滿足，若點滿足．

   （1）求點的軌跡的方程；

   （2）設過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線分別交于點、（其中為坐標原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

 

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科目：高中數學 來源：2010屆湖南省高三第二次月考理科數學卷 題型：解答題

（本大題滿分13分）設函數是定義域在上的單調函數，且對于任意正數有，已知.

（1）求的值；

（2）一個各項均為正數的數列滿足：，其中是數列的前n項的和，求數列的通項公式；

（3）在（2）的條件下，是否存在正數，使 對一切成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

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