【題目】已知長(zhǎng)方形ABCD中,AB=1,AD=,F(xiàn)將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線BD折起,使AC=a,得到一個(gè)四面體ABCD,如圖所示.

(1)試問:在折疊的過程中,異面直線AB與CD,AD與BC能否垂直?若能垂直,求出相應(yīng)的a值;若不垂直,請(qǐng)說明理由.

(2)當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí),求二面角ACDB的余弦值.

【答案】見解析

【解析】解:(1)若AB⊥CD,因?yàn)锳B⊥AD,AD∩CD=D,

所以AB⊥平面ACD,所以AB⊥AC.

即AB2+a2=BC2,即12+a2=()2,所以a=1。

若AD⊥BC,因?yàn)锳D⊥AB,

所以AD⊥平面ABC,所以AD⊥AC.

即AD2+a2=CD2,即()2+a2=12,

所以a2=-1,無解.

故AD⊥BC不成立.

(2)要使四面體ABCD的體積最大,因?yàn)椤鰾CD的面積為定值,

所以只需三棱錐ABCD的高最大即可,此時(shí)平面ABD⊥平面BCD,

過點(diǎn)A作AO⊥BD于點(diǎn)O,

則AO⊥平面BCD,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖),

則易知A,C(,,0),D

顯然,平面BCD的一個(gè)法向量為。

設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z).

因?yàn)?/span>,

所以令y=,得n=(1,,2).

故二面角ACDB的余弦值為|cos〈,n〉|=。

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