Question

已知函數f(x)=

3

asinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

(ω∈R+，a∈R)的最小正周期為π，其圖象關于直線x=

π

6

對稱．
（1）求函數f（x）在[0，

π

2

]上的單調遞增區(qū)間；
（2）若關于x的方程1-f（x）=m在[0，

π

2

]上只有一個實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據兩角和與差的公式和二倍角公式進行化簡，再由最小正周期求出ω的值，最后根據圖象關于直線x=

π

6

對稱確定函數f（x）的解析式．
（2）由題意可得 sin（2x+

π

6

）=m在[0，

π

2

]上只有一個實數解，再由 0≤x≤

π

2

可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，得到-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，由此得到實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=a•

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+

3

2

=

3

2

a•sin2ωx-

1+cos2ωx

2

+

3

2

=

3

2

a•sin2ωx-

1

2

cos2ωx+1，
∵函數f（x）的最小正周期為π，∴

2π

2ω

=π，ω=1．
∴f（x）=

3

2

a•sin2x-

1

2

cos2x+1．
再由函數f（x）的圖象關于直線x=

π

6

對稱可得 f（0）=f（

π

3

），即

1

2

=

3

2

a•

3

2

-

1

2

•（-

1

2

）+1，解得 a=-1．
故函數f（x）=-

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1=1-sin（2x+

π

6

），故本題即求sin（2x+

π

6

）在[0，

π

2

]上的減區(qū)間．
令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z．
再由x∈[0，

π

2

]可得函數f（x）在[0，

π

2

]上的單調遞增區(qū)間為[

π

6

，

π

2

]．
（2）關于x的方程1-f（x）=m在[0，

π

2

]上只有一個實數解，即 sin（2x+

π

6

）=m在[0，

π

2

]上只有一個實數解．
再由 0≤x≤

π

2

可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
集合圖象可得 m=1，或-

1

2

≤m＜

1

2

．

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和二倍角公式的應用和最小正周期的求法．考查三角函數基礎知識的簡單應用和靈活能力，屬于中檔題．