【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零點(diǎn),則a=( )
A.﹣
B.
C.
D.1
【答案】C
【解析】解:因?yàn)閒(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x﹣1)2+a(ex﹣1+ )=0,
所以函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)等價(jià)于方程1﹣(x﹣1)2=a(ex﹣1+ )有唯一解,
等價(jià)于函數(shù)y=1﹣(x﹣1)2的圖象與y=a(ex﹣1+ )的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
①當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2﹣2x≥﹣1,此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn),矛盾;
②當(dāng)a<0時(shí),由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上遞增、在(1,+∞)上遞減,
且y=a(ex﹣1+ )在(﹣∞,1)上遞增、在(1,+∞)上遞減,
所以函數(shù)y=1﹣(x﹣1)2的圖象的最高點(diǎn)為A(1,1),y=a(ex﹣1+ )的圖象的最高點(diǎn)為B(1,2a),
由于2a<0<1,此時(shí)函數(shù)y=1﹣(x﹣1)2的圖象與y=a(ex﹣1+ )的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),矛盾;
③當(dāng)a>0時(shí),由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上遞增、在(1,+∞)上遞減,
且y=a(ex﹣1+ )在(﹣∞,1)上遞減、在(1,+∞)上遞增,
所以函數(shù)y=1﹣(x﹣1)2的圖象的最高點(diǎn)為A(1,1),y=a(ex﹣1+ )的圖象的最低點(diǎn)為B(1,2a),
由題可知點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件,即2a=1,即a= ,符合條件;
綜上所述,a= ,
故選:C.
通過(guò)轉(zhuǎn)化可知問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)y=1﹣(x﹣1)2的圖象與y=a(ex﹣1+ )的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求a的值.分a=0、a<0、a>0三種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥| +a|在R上恒成立,則a的取值范圍是( 。
A.[﹣ ,2]
B.[﹣ , ]
C.[﹣2 ,2]
D.[﹣2 , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解答下列問(wèn)題:
(1)求平行于直線3x+4y- 2=0,且與它的距離是1的直線方程;
(2)求垂直于直線x+3y -5=0且與點(diǎn)P( -1,0)的距離是的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(cosx,sinx), =(3,﹣ ),x∈[0,π].
(Ⅰ)若 ∥ ,求x的值;
(Ⅱ)記f(x)= ,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),g(x)滿足關(guān)系g(x)=f(x)f(x+α),其中α是常數(shù).
(1)設(shè)f(x)=cosx+sinx,,求g(x)的解析式;
(2)設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)f(x)及一個(gè)α的值,使得;
(3)當(dāng)f(x)=|sinx|+cosx,時(shí),存在x1,x2∈R,對(duì)任意x∈R,g(x1)≤g(x)≤g(x2)恒成立,求|x1-x2|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=excosx﹣x.(13分)
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),解析式為f(x)=.
(1)求f(x)在R上的解析式;
(2)用定義證明f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究高中生使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響,部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
使用智能手機(jī) | 不使用智能手機(jī) | 合計(jì) | |
學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀 | |||
學(xué)習(xí)成績(jī)不優(yōu)秀 | |||
合計(jì) |
(1)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),你是否有的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響?
(2)為進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)智能手機(jī)的使用習(xí)慣,現(xiàn)從全校使用智能手機(jī)的高中生中(人數(shù)很多)隨機(jī)抽取 人,求抽取的學(xué)生中學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的與不優(yōu)秀的都有的概率.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】雙曲線E: =1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 , P是E坐支上一點(diǎn),且|PF1|=|F1F2|,直線PF2與圓x2+y2=a2相切,則E的離心率為 .
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