Question

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，△AF₁F₂為正三角形，且以線段F₁F₂為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；

（Ⅱ）若點(diǎn)P為焦點(diǎn)F₁關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足. 問(wèn)是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)T的距離為定值？若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在一個(gè)定點(diǎn)且定值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意由線段F₁F₂為直徑的圓與直線相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，可得c值，再由△AF₁F₂為正三角形，得a、b、c間關(guān)系，求出a、b的值，即得橢圓方程及離心率；（Ⅱ）假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)T符合題意，先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由題意得，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡，從而得解.

試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)焦點(diǎn)為，

以線段為直徑的圓與直線相切，，即c=2，     1分

又為正三角形，，  4分

橢圓C的方程為，離心率為.        6分

（Ⅱ）假設(shè)存在一個(gè)定點(diǎn)T符合題意，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)得

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，                     7分

由得，

兩邊平方整理得，                      10分

即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，

存在一個(gè)定點(diǎn)且定值為.                         12分

考點(diǎn)：1、橢圓方程及性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法；4、兩點(diǎn)間距離公式；5、圓的軌跡方程.