Question

設(shè)等比數(shù)列z₁，z₂，z₃，…，z_n，其中z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai（a，b∈R，a＞0）．
（1）求a，b的值；
（2）若等比數(shù)列的公比為q，且復(fù)數(shù)μ滿足(-1+

3

i)μ=q，求|μ|．

Answer 1

分析：（1）z₁，z₂，z₃是等比數(shù)列的前三項，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得z₂²=z₁•z₃，由已知z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai，分別代入即可得到關(guān)于a和b的方程組，求出方程組的解集即可得到a與b的值；
（2）把（1）求出a與b的值代入z₂，然后利用

z2

z1

求出等比數(shù)列的公比q，由于(-1+

3

i)μ=q，把公比q代入其中即可求出復(fù)數(shù)μ，即可求出復(fù)數(shù)的模．

解答：解：（1）由等比數(shù)列得z₂²=z₁•z₃，
即（a+bi）²=1•（b+ai）且a＞0
∴

a2-b2=b 2ab=a

，解得

a= 3 2 b= 1 2

；
（2）q=

z2

z1

=

3

2

+

1

2

i．
∵(-1+

3

i)μ=q
∴μ=

3 2 + 1 2 i

-1+ 3 i

=

- 1 2 i(-1+ 3 i)

-1+ 3 i

=-

1

2

i．
∴|μ|=

1

2

．

點評：此題考查學生靈活利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決實際問題，會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算及會求復(fù)數(shù)的模，是一道綜合題．