Question

已知函數(shù)，設(shè)曲線y=f(x)在點處的切線與x軸的交點為，（為正數(shù)）
（1）試用表示
（2）若記，證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（3）若是數(shù)列的前n項和，證明：

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

本試題主要是考查了數(shù)列與函數(shù)，以及不等式的綜合運用。
（1）因為曲線y=f(x)在點處的切線與x軸的交點為，利用求出切點的斜率和點到坐標表示切線方程，進而得到結(jié)論。
（2）由（1）知，
所以從而得到所證明數(shù)列是等比數(shù)列。
（3）顯然恒大于0 ------------11分
因為
所以
然后分類討論求和得到證明。
解：（1）因為 所以曲線y=f(x)在點處的切線方程是， ---------2分
令y=0得
顯然所以
即（或）  ----------4分
（2）由（1）知，
所以  ------------6分
從而，即其
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列  -------8分
所以，即
所以，所以 ---------10分
（3）顯然恒大于0 ------11分
因為
所以 ----------12分
當時，顯然
當時，
所以
即成立，證畢 ------------14分