已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)交橢圓于另一點，求直線的斜率的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，證明直線與軸相交于定點．

 

【答案】

(1) (2) 或(3)見解析

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程求解以及直線與圓的位置關(guān)系的運用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用。

（1）因為橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．根據(jù)橢圓的性質(zhì)和線圓的位置關(guān)系得到a,b的值。

（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理得到參數(shù)k，然后借助于判別式得到范圍。

（3）設(shè)點，則，直線的方程為

令，得，將代入整理，得．得到兩根的關(guān)系式，結(jié)合韋達定理得到定點。

解：⑴由題意知，所以，即，又因為，所以，故橢圓的方程為：．………4分

⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為  ①

聯(lián)立消去得：，……..6分

由得，……….7分

又不合題意，

所以直線的斜率的取值范圍是或．……….9分

⑶設(shè)點，則，直線的方程為

令，得，將代入整理，得．     ②…………….12分

由得①代入②整理，得，

所以直線與軸相交于定點．……….14分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓E的離心率為e，兩焦點為F1，F(xiàn)2，拋物線C以F1為頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個公共點，若
|PF1|
|PF2|
=e，則e的值為（　�。�
A、
3
3
B、
3
2
C、
2
2
D、
6
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準(zhǔn)線上一點（異于右準(zhǔn)線與x軸的交點），設(shè)線段FM交橢圓C于點P，已知橢圓C的離心率為
2
3
，點M的橫坐標(biāo)為
9
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1•k2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的離心率為e，兩焦點為F1、F2，拋物線C以F1為頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，若
|PF1|
|PF2|
=e，則e的值為
3
3
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的離心率為e=
6
3
，一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動點P滿足：
OP
=
OM
+
ON
，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為-
1
3
，問：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，求A，B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（A題） （奧賽班做）已知橢圓E的離心率為e，左右焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，
|PF1|
|PF2|
=e，則e的值為
3
3
3
3
．

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