【題目】如圖,已知四棱錐S﹣ABCD,底面ABCD為菱形,SA⊥平面ABCD,∠ADC=60°,E,F(xiàn)分別是SC,BC的中點(diǎn).

(1)證明:SD⊥AF;
(2)若AB=2,SA=4,求二面角F﹣AE﹣C的余弦值.

【答案】
(1)證明:由四邊形ABCD為菱形,∠ADC=60°,可得△ABC為正三角形.

因?yàn)镕為BC的中點(diǎn),所以AF⊥BC.

又BC∥AD,因此AE⊥AD.

因?yàn)镾A⊥平面ACDB,AE平面ABCD,所以SA⊥AF.

而SA平面SAD,AD平面SAD且SA∩AD=A,

所以AF⊥平面PAD.又SD平面SAD,

所以AF⊥SD.


(2)解:由(1)知AF,AD,AS兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又E,F(xiàn)分別為SC,BC的中點(diǎn),所以 ,

所以

設(shè)平面AEF的一法向量為 ,

因此

取Z1=﹣1,則 ,

因?yàn)锽D⊥AC,BD⊥SA,SA∩AC=A,

所以BD⊥平面AEC,

為平面AEC的一法向量,且 ,

所以 ,

由于二面角E﹣AF﹣C為銳角,所以所求二面角的余弦值為


【解析】(1)證明AF⊥BC.SA⊥AF.推出AF⊥平面PAD.然后利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明AF⊥SD.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面AEF的一法向量,平面AEC的一法向量,通過(guò)斜率的數(shù)量積求解二面角的余弦值即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

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高二年級(jí)

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