Question

已知{a_n}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}滿足等式：a_n==（n為正整數(shù)），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解（1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n} 的公差為d，則依題設(shè)d＞0
由a2+a7=16．得2a₁+7d=16
①由a₃•a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55 ②
由①得2a₁=16-7d 將其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d²=220∴d²=4，又d＞0，
∴d=2，代入①得a₁=1
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
所以a_n=2n-1
（2）令c_n=，則有a_n=c₁+c₂+…+c_n，a_n+1=c₁+c₂+…+c_n-1
兩式相減得a_n+1-a_n=c_n+1，
由（1）得a₁=1，a_n+1-a_n=2
∴c_n+1=2，c_n=2（n≥2），
即當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=2ⁿ⁺¹
又當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2a₁=2
∴b_n=＜BR＞
于是S_n=b₁+b₂+b₃…+b_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-4=-6，
即S_n=2ⁿ⁺²-6
分析：（1）將已知條件a₃a₆=55，a₂+a₇=16，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式用首項(xiàng)與公差表示，列出方程組，求出首項(xiàng)與公差，進(jìn)一步求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）將已知等式仿寫出一個(gè)新等式，兩個(gè)式子相減求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
點(diǎn)評(píng)：求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和應(yīng)該先求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)的特點(diǎn)，然后選擇合適的求和的方法．