Question

設(shè)點P是圓x²+y²=4上任意一點，由點P向x軸作垂線PP，垂足為P_o，且=．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（m≠0）與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點A，B．
（1）若直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓過曲線C與x軸正半軸的交點Q，求證：直線l過定點（Q點除外），并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）代入法：設(shè)點M（x，y），P（x，y），則由題意知P（x，0），由=可得點M與點P坐標間的關(guān)系式，再根據(jù)點P在圓上代入P點坐標即可得到M坐標方程，即所求軌跡方程；
（Ⅱ）（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立消掉y得x的二次方程，由題意知△＞0①，根據(jù)直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，得，即，借助韋達定理可得m、k的等式，進而求得k值，代入①即可解得m的范圍；（2）依題意，，即=0，變形為x₁、x₂的式子，進而用韋達定理可得k、m的等式，據(jù)m與k的關(guān)系式消掉直線l方程y=kx+m中的m，即可求得該直線所過定點；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點M（x，y），P（x，y），則由題意知P（x，0）．
由，=（0，-y），且=，得（x-x，-y）=（0，-y）．
所以，于是，
又，所以．
所以，點M的軌跡C的方程為．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0．
所以，△=（8mk）²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0．①，且，
（1）依題意，，即，所以．
所以=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
所以km（x₁+x₂）+m²=0，即km（-）+m²=0．
因為m≠0，所以k（-）+1=0，解得．
將得代入①，得m²＜6．
所以，m的取值范圍是（-，0）∪（0，）．
（2）曲線與x軸正半軸的交點為Q（2，0）．
依題意，，即=0．
于是（2-x₁，-y₁）•（2-x₂，-y₂）=0．
∴x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，即x₂-2（x₁+x₂）+4+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴（k²+1）•+（km-2）•（-）+4+m²=0，
化簡，得7m²+16mk+4k²=0．
解得，m=-2k或m=-，且均滿足3+4k²-m²＞0，
當m=-2k時，直線l的方程為y=k（x-2），直線過定點（2，0）（舍去）；
當m=-時，直線l的方程為y=k（x-），直線過定點（，0）．
所以，直線過定點（，0）．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡方程、直線斜率及等比數(shù)列等有關(guān)知識，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度較大．