Question

（2013•山東）甲乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是

1

2

，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是

2

3

．設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）分別求甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率；
（2）若比賽結(jié)果3：0或3：1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分，對方得1分，求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝，分別求出相應(yīng)的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式求出甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率；
（2）X的取值可能為0，1，2，3，然后利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝
①3：0，概率為P₁=（

2

3

）³=

8

27

；
②3：1，概率為P₂=C

1 3

（

2

3

）²×（1-

2

3

）×

2

3

=

8

27

；
③3：2，概率為P₃=C

2 4

（

2

3

）²×（1-

2

3

）²×

1

2

=

4

27

∴甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率：

8

27

，

8

27

，

4

27

．
（2）乙隊(duì)得分X，則X的取值可能為0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P₁+P₂=

16

27

；
P（X=1）=P₃=

4

27

；
P（X=2）=C

2 4

（1-

2

3

）²×（

2

3

）²×

1

2

=

4

27

；
P（X=3）=（1-

2

3

）³+C

1 3

（1-

2

3

）²×（

2

3

）×

1

3

=

1

9

；
則X的分布列為

X	3	2	1	0
P	1 9	4 27	4 27	16 27

E（X）=3×

1

9

+2×

4

27

+1×

4

27

+0×

16

27

=

7

9

．

點(diǎn)評：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．