【題目】已知函數(shù)有兩個極值點(為自然對數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)求證：.

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】分析：(Ⅰ) 函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理與函數(shù)圖象可得當時，沒有極值點；當時，當時，有兩個極值點；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，為的兩個實數(shù)根，，在上單調(diào)遞減，問題轉(zhuǎn)化為，要證，只需證，即證，利用導(dǎo)數(shù)可得，從而可得結(jié)論.

詳解： (Ⅰ)∵，∴.

設(shè)，則.

令，解得.

∴當時，；當時，.

∴.

當時，，∴函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值點；

當時，，且當時，；當時，.

∴當時，有兩個零點.

不妨設(shè)，則.

∴當函數(shù)有兩個極值點時，的取值范圍為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，為的兩個實數(shù)根，，在上單調(diào)遞減.

下面先證，只需證.

∵，得，∴.

設(shè)，，

則，∴在上單調(diào)遞減，

∴，∴，∴.

∵函數(shù)在上也單調(diào)遞減，∴.

∴要證，只需證，即證.

設(shè)函數(shù)，則.

設(shè)，則，

∴在上單調(diào)遞增，∴，即.

∴在上單調(diào)遞增，∴.

∴當時，，則，

∴，∴.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，，為其左、右頂點，為橢圓上除，外任意一點，若記直線，斜率分別為，.

（1）求證：為定值；

（2）若橢圓的長軸長為4，過點作兩條互相垂直的直線，，若恰好為與橢圓相交的弦的中點，求與橢圓相交的弦的中點的橫坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C：x2+y2+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0．

（1）若直線l與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；

（2）若直線l與圓C相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數(shù)m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個不等實數(shù)根，，且，則的最小值是（ ）

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，已知點A（1，1），B（2，3），C（3，2），點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上．
（1）若 ，求| |；
（2）設(shè) =m +n （m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）= 的定義域為（ ）
A.（0， ）
B.（2，+∞）
C.（0， ）∪（2，+∞）
D.（0， ]∪[2，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過橢圓的右焦點作軸的垂線，與橢圓在第一象限內(nèi)交于點，過作直線的垂線，垂足為，．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為圓上任意一點，過點作橢圓的兩條切線，設(shè)分別交圓于點，證明：為圓的直徑．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ﹣k（ +lnx）（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當k≤0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求的最大值與最小值；

（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案