Question

【題目】對(duì)正整數(shù)n，記In={1，2，3…，n}，Pn={ |m∈In ， k∈In}．
（1）求集合P7中元素的個(gè)數(shù)；
（2）若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集．

Answer 1

【答案】
（1）解：對(duì)于集合P7，有n=7．

當(dāng)k=1時(shí)，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7個(gè)數(shù)，

當(dāng)k=2時(shí)，m=1，2，3…，7，Pn對(duì)應(yīng)有7個(gè)數(shù)，

當(dāng)k=3時(shí)，m=1，2，3…，7，Pn對(duì)應(yīng)有7個(gè)數(shù)，

當(dāng)k=4時(shí)，Pn={ |m∈In，k∈In}=Pn={ ，1， ，2， ，3， }中有3個(gè)數(shù)（1，2，3）

與k=1時(shí)Pn中的數(shù)重復(fù)，

當(dāng)k=5時(shí)，m=1，2，3…，7，Pn對(duì)應(yīng)有7個(gè)數(shù)，

當(dāng)k=6時(shí)，m=1，2，3…，7，Pn對(duì)應(yīng)有7個(gè)數(shù)，

當(dāng)k=7時(shí)，m=1，2，3…，7，Pn對(duì)應(yīng)有7個(gè)數(shù)，

由此求得集合P7中元素的個(gè)數(shù)為 7×7﹣3=46

（2）解：先證當(dāng)n≥15時(shí)，Pn不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集．假設(shè)當(dāng)n≥15時(shí)，

Pn可以分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集，設(shè)A和B為兩個(gè)不相交的稀疏集，使A∪B=PnIn．

不妨設(shè)1∈A，則由于1+3=22，∴3A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，

但1+15=42，這與A為稀疏集相矛盾．

再證P14滿足要求．當(dāng)k=1時(shí)，P14={ |m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2個(gè)稀疏集的并集．

事實(shí)上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，

則A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．

當(dāng)k=4時(shí)，集合{ |m∈I14}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合{ ， ， ，…， }，

可以分為下列3個(gè)稀疏集的并：

A2={ ， ， ， }，B2={ ， ， }．

當(dāng)k=9時(shí)，集合{ |m∈I14}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合{ ， ， ， ，…， ， }，

可以分為下列3個(gè)稀疏集的并：

A3={ ， ， ， ， }，B3={ ， ， ， ， }．

最后，集合C═{ |m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9}中的數(shù)的分母都是無理數(shù)，

它與Pn中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，

因此，令A(yù)=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，則A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．

綜上可得，n的最大值為14

【解析】（1）對(duì)于集合P7 ， 有n=7．當(dāng)k=4時(shí)，根據(jù)Pn中有3個(gè)數(shù)與In={1，2，3…，n}中的數(shù)重復(fù)，由此求得集合P7中元素的個(gè)數(shù)．（2）先用反證法證明證當(dāng)n≥15時(shí)，Pn不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集，再證P14滿足要求，從而求得n的最大值．