Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，M，N分別為AD，PB的中點(diǎn)，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求證：MN⊥平面PBC；
（2）求MN與平面ABC所成的角；
（3）求四面體P-MBC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明線(xiàn)面垂直．
（2）利用線(xiàn)面所成角的定義確定線(xiàn)面角，然后求出線(xiàn)面角的大小．
（3）利用四面體的體積公式求體積．
解答：解：（1）取PC的中點(diǎn)Q，連DQ，NQ，則NQ∥BC且NQ=BC．
因?yàn)锽C∥DM，DM=BC，所以NQ∥DM，且NQ=DM，所以四邊形NQDM是平行四邊形．
所以DQ∥MN，
因?yàn)镻D⊥面ABCS，BC?面ABCD，
所以PD⊥BC，
因?yàn)锽C⊥DQ．
因?yàn)镻D=AD=a，所以DQ⊥PC，
因?yàn)镻C∩BC=C，
所以DQ⊥面PBC，因?yàn)镈Q∥MN，所以MN⊥面PBC．
（2）由（1）知，MN∥DQ，
所以MN與面ABCD所成角即為DQ與面ABCD所成角的大小，
取DC的中點(diǎn)R，連QR，則QR∥PD，
所以QR⊥面ABCD，所以∠QDR即為DQ與面ABCD所成的角．
所以∠QDR=45°，即MN與面ABCD所成角為45°．
（3）因?yàn)镸N⊥平面PBC，所以．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線(xiàn)面垂直的判定依據(jù)線(xiàn)面所成的角，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．