Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求C₁到平面A₁AB的距離；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AC₁⊥平面A₁BC，需要從平面A₁BC中找出兩條相交線與AC₁垂直，由圖形知，可證BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁．由線面垂直的定理即可得．
（Ⅱ）求C₁到平面A₁AB的距離，本小題擬采用向量法求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面A₁AB的法向量，以及

C1A1

，求

C1A1

在平面法向量上的投影即可得到點到面的距離．
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的余弦值，本小題擬采用向量法求解，根據(jù)（2）求出兩平面的法向量，直接求兩向量夾角的余弦值的絕對值即可．

解答：解：
（Ⅰ）證明：因為A₁在底面ABC上的射影為AC的中點D
所以平面A₁ACC₁⊥平面ABC
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC
∴BC⊥平面A₁ACC₁∴BC⊥AC₁
∵AC₁⊥BA₁且BC₁∩BA₁=B
∴AC₁⊥平面A₁BC
（Ⅱ）如圖所示，以C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系
∵AC₁⊥平面A₁BC∴AC₁⊥A₁C
∴四邊形A₁ACC₁是菱形∵D是AC的中點
∴∠A₁AD=60°∴A（2，0，0）A₁（1，0，

3

）
B（0，2，0）C₁（-1，0，

3

）
∴

A1A

=（1，0，

3

）

AB

=（-2，2，0）
設(shè)平面A₁AB的法向量

n

=（x，y，z），則

x= 3 z x=y

，令z=1，
∴

n

=（

3

，

3

，1）
∵

C1A1

=（2，0，0）∴d=

| C1A1 . n |

| n |

=

2 21

7

∴C₁到平面A₁AB的距離為

2 21

7

（Ⅲ）平面A₁AB的法向量

n

=（

3

，

3

，1），平面A₁BC的法向量

AC1

=（-3，0，

3

）
∴cos＜

AC1

，

n

＞=

AC1 . n

| AC1 || n |

=-

7

7

，
設(shè)二面角A-A₁B-C的平面角為θ，θ為銳角，
∴cosθ=

7

7

即二面角A-A₁B-C的余弦值為

7

7

點評：本題考查線面垂直的證明，點到面距離的求法，二面角的求法，由解題過程可以看出，用向量法求點到面的距離，求二面角是一個很實用的方法，解題中要善于運用，在求解此類題時，求面的法向量是一個重點，要學(xué)會怎么賦值．