Question

【題目】已知函數(shù)，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若函數(shù)的極大值為，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）當(dāng)a＝e時(shí)，若曲線與在處的切線互相垂直，求的值；

（3）設(shè)函數(shù)，若＞0對任意的x(0，1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝1；（2）；（3）[，)．

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的極大值，即得a的值；

（2）由得到，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和得到；

（3）由題得對任意x(0，1)恒成立，設(shè)，得到對任意x(0，1)恒成立，即，設(shè)，x(0，1)，求出的最大值得解.

解：（1）因?yàn)?/span>，則，

因?yàn)?/span>，所以a＞0，

則當(dāng)x(0，e)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)x(e，)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x＝e時(shí)，的極大值，解得a＝1；

（2）當(dāng)a＝e時(shí)，，，

則，，

由題意知，，

整理得，

設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，所以；

（3）由題意可知，對任意x(0，1)恒成立，

整理得對任意x(0，1)恒成立，

設(shè)，由（1）可知，在(0，1)上單調(diào)遞增，

且當(dāng)x(1，)時(shí)，，當(dāng)x(0，1)時(shí)，，

若，則，

若，因?yàn)?/span>，且在(0，1)上單調(diào)遞增，所以，

綜上可知，對任意x(0，1)恒成立，即，

設(shè)，x(0，1)，則，所以單調(diào)遞增，

所以，即a的取值范圍為[，)．